Análise Combinatória

Matemática — Escrito por

Por: pessoal.sercomtel.com.br

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É muito frequente encontrarmos na literatura sobre os termos: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Notações comuns neste trabalho
Expressão geral Exemplo numérico
Sinal de divisão /
n! = 1.2.3…n 6!=1.2.3.4.5.6=720
C(n,p)=n!/[p!(n-p)!] C(6,2)=6!/[2!4!]=15
A(n,p)=n!/(n-p)! A(6,4)=6!/4!=30

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Simples

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Com repetição

Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp

Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Condicional

Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Simples

São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Com repetição

Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,…,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, … , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+…+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+…+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2). C(m-m1-m2,m3) … C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Circulares

Ocorre quando obtemos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m) = (m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa “circular” temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC

o que significa existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Simples

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Com repetição

Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: Cr(m,p) = C(m+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

Regras gerais sobre a Análise Combinatória

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma

A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto

A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo

Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, …, rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, …, sn.

De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma tabela com os m elementos de C.

c1 c2 c3 c4 c5 cm-2 cm-1 cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor amarela para a cor bege.

Para escolher o prameiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.

c1 c2 c3 c4 c5 cm-2 cm-1 cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1 c2 c3 c4 c5 cm-2 cm-1 cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1 c2 c3 c4 c5 cm-2 cm-1 cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)…(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)…(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

e a solução numérica é A(5,2) = 5.4= 20 possibilidades

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Colocar uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que existem 5×5=25 possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
p m-p+1
m-2 3
m-1 2
m 1
No.de permutações m(m-1)(m-2)…(m-p+1)…4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2)…(m-p+1)…3.2.1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como o fatorial de m, onde m é um número natural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!
0! = 1

Exemplo: De quantas formas podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3) = 6 e o conjunto solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4) = 24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). … .(m-p+1), então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). … .(m-p+1)] / p!

o que pode ser reescrito

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). … .(m-p+1)] / [(1.2.3.4….(p-1)p]

Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)…3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2)…..(m-p+1)(m-p)(m-p-1)…3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:
m!
C(m,p) = ———–
p! (m-p)!

Número de arranjos com repetição

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp

Número de permutações com repetição

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).

O número total de possibilidades pode ser calculado como:
10! 7! 5! 10!
C(10,3).C(10-3,2).C(10-3-2,5) = —- x —- x —- x —-
3!7! 2!5! 5!0! 3!2!5!

Tal metodologia pode ser generalizada.

Número de combinações com repetição

Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Consideremos o conjunto A = (a,b,c,d,e) e p = 6. As coleções (a,a,b,d,d,d); (b,b,b,c,d,e); (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos com pontos ¤ e vazios Ø onde cada ponto ¤ é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças

(a,a,b,d,d,d) <=> ¤¤Ø¤Øؤ¤¤Ø
(b,b,b,c,d,e) <=> ؤ¤¤Ø¤Ø¤Ø¤
(c,c,c,c,c,c) <=> Øؤ¤¤¤¤¤ØØ

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6 ¤ e 4 Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Crep(m,p) = C(m+p-1,p)

Propriedades das combinações

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.

Taxas complementares

C(m,p) = C(m,m-p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.

Relação do triângulo de Pascal

C(m,p) = C(m-1,p) + C(m-1,p-1)

Exemplo: C(12,10) = C(11,10)+C(11,9)=11×55=605

Número Binomial

O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:

( n )
p

Exemplo:

( 8 ) = C(8,2) = 28
2

Observação: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de um número real r qualquer tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais indicar como sendo a combinação C(r,p). Como Pi=3,1415926535…, então:

( Pi ) = Pi(Pi-1)/2 = 3,36400587375
2

Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística.

Teorema Binomial

Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos C(m,p) =mp. Então:

(a+b)m = am + m1am-1b + m2 am-2b2 + m3 am-3 b3 +…+ mm bm

Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.

Vamos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:

P(m): (a+b)m = am+m1am-1b +m2 am-2b2 +m3am-3b3+… +mmbm

P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:

P(k):(a+b)k = ak + k1 ak-1b + k2 ak-2b2 + k3 ak-3b3 +…+ kkbk

para provar a propriedade P(k+1).

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:

(a+b)k+1 = ak+1 + (k+1)1 akb + (k+1)2 ak-1b2 +…+ (k+1)(k+1)bk+1

(a + b)k+1= (a + b).(a + b)k
(a + b).[ak + k1 ak-1 b + k2 ak-2 b2 + k3 ak-3 b3 + … + kk bk]
a.[ak + k1 ak-1 b + k2 ak-2 b2 + k3 ak-3 b3 + … + kk bk] +
b.[ak + k1 ak-1 b + k2 ak-2 b2 + k3 ak-3 b3 + … + kk bk]
ak+1 + k1 ak b + k2 ak-1 b2 + k3 ak-2 b3 + … + kk a bk +
akb + k1 ak-1 b2 + k2 ak-2 b3 + k3 ak-3 b4 + … + kk bk+1
ak+1 + [k1+1] ak b + [k2+k1] ak-1 b2 + [k3+k2] ak-2 b3 + [k4+k3] ak-3 b4 + … + [kk-1+kk-2] a2 bk-1 + [kk+kk-1] a bk + kk bk+1
ak+1 + [k1+k0] ak b + [k2+k1] ak-1 b2 + [k3+k2] ak-2 b3 + [k4+k3] ak-3 b4 + … + [kk-1+kk-2] a2 bk-1 + [kk+kk-1] a bk + kk bk+1

Pelas propriedades das combinações, temos:

k1+k0 = C(k,1) + C(k,0) = C(k+1,1) =(k+1)1
k2+k1 = C(k,2) + C(k,1) = C(k+1,2) =(k+1)2
k3+k2 = C(k,3) + C(k,2) = C(k+1,3) =(k+1)3
k4+k3 = C(k,4) + C(k,3) = C(k+1,4) =(k+1)4
kk-1+kk-2 = C(k,k-1) + C(k,k-2) = C(k+1,k-1) =(k+1)k-1
kk+kk-1 = C(k,k) + C(k,k-1) = C(k+1,k) =(k+1)k
E assim podemos escrever:
(a+b)k+1 = ak+1 + (k+1)1 ak b + (k+1)2 ak-1 b2 + (k+1)3 ak-2 b3 +
(k+1)4 ak-3 b4 + … + (k+1)k-1 a2 bk-1 + (k+1)k a bk + kk bk+1

que é o resultado desejado.

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