Progressão Aritmética

Matemática — Escrito por

Por: Prof. Antônio Carlos

Progressão aritmética é uma sequência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada razão.

Logo abaixo temos alguns exercícios de progressões aritméticas resolvidos.

1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,…) calcule o seu enésimo termo.
2) Interpole seis meios aritméticos entre -8 e 13.

3) Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.

4) Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.

5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.

6) Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:

7) Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,…) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:

8) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

1 – Entenderemos por progressão geométrica – PG – como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

]Exemplos:
(1,2,4,8,16,32, … ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, … ) PG de razão 1
(100,50,25, … ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, …) PG de razão -3

2 – Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, … , a n, … ) , onde a1 é o primeiro termo, e a n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3

Infere-se (deduz-se) que: a n = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k
Exemplos:
a) Dada a PG (2,4,8,… ), pede-se calcular o décimo termo.

Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = … = 2.

Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4
Então 16 = q4 = 24 e portanto q = 2.
3 – Propriedades principais

P1 – em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.
P
2 – o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2

4 – Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, … , an , …) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn . q = a1 . q + a2 .q + …. + an-1 . q + an .q . Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
Sn . q = a2 + a3 + … + an + an . q
Observe que a2 + a3 + … + an é igual a Sn – a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn – a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,…)
Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.
5 – Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + … =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

Agora que você estudou a teoria, tente resolver as seguintes questões:

1) Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , podemos afirmar que a2 + b2 + c2 é igual a:

2) Sendo S = 1 + 2 + 0,5 + 4 + 0,25 + 8 + 0,125 + … + 64 + 1/64 , então 5S vale:

3) Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 999…9 onde a última parcela contém n algarismos.Nestas condições, o valor de 10n+1 – 9(S + n) é:
a)1
b)10
c)100
d)-1
e)-10

4) O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é igual a:
a)1/x
b)x
c)2x
d)n.x
e)1978x

5) Se o limite da soma de uma PG infinita é 18 , o seu primeiro termo é 3 e a razão é r , então 100r é igual a:

6 (UEFS) O primeiro e o quinto termos de uma progressão geométrica são respectivamente 4/5 e 8000. A razão dessa progressão é:

7 (UEFS) Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a)28°
b)32°
c)36°
d)48°
e)50°

GABARITO:
1) 819
2) 630
3) B
4) B
5) 250/3
6) 10
7) D

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